Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{100}$的等比數(shù)列，且$\frac{_{6}}{_{7}}$=$\frac{1}{2}$，10a₁•b₂=-1，2a₁•b₂+5a₂•b₃=-2
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n+$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q．$\frac{_{6}}{_{7}}$=$\frac{1}{2}$，可得q=2，b_n．根據(jù)10a₁•b₂=-1，2a₁•b₂+5a₂•b₃=-2，可得10a₁•$（-\frac{1}{100}）$×2=-1，$2×（-\frac{1}{10}）$+5（a₁+d）×$（-\frac{1}{100}×{2}^{2}）$=-2，解出即可得出．
（2）$\frac{1}{_{n}}$=$-\frac{100}{{2}^{n-1}}$，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（3）由（2）可得S₁＞S₂＞S₃＜S₄＜S₅＜S₆＜…，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q．
∵$\frac{_{6}}{_{7}}$=$\frac{1}{2}$，∴q=2，∴$_{n}=-\frac{1}{100}×{2}^{n-1}$．
∵10a₁•b₂=-1，2a₁•b₂+5a₂•b₃=-2，
∴10a₁•$（-\frac{1}{100}）$×2=-1，$2×（-\frac{1}{10}）$+5（a₁+d）×$（-\frac{1}{100}×{2}^{2}）$=-2，
解得a₁=5，d=4，
∴a_n=5+4（n-1）=4n+1，$_{n}=-\frac{1}{100}×{2}^{n-1}$．
（2）$\frac{1}{_{n}}$=$-\frac{100}{{2}^{n-1}}$，
數(shù)列{a_n+$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n=-100×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n（5+4n+1）}{2}$=$\frac{200}{{2}^{n}}$+2n²+3n-200．
（3）由（2）可得：S₁＞S₂＞S₃＜S₄＜S₅＜S₆＜…，
∴S_n的最小值為S₃=-148．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．