Question

6．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=a有兩個根x₁，x₂（x₁＜x₂），證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可；
（2）問題轉化為$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，設$\frac{x_2}{x_1}=t（t＞1）$，則$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，問題等價于$t-\frac{1}{t}＞2lnt$．令$g（t）=t-\frac{1}{t}-2lnt$，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}，（x＞0）$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
所以f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
故f（x）的最小值為f（1）=1．
（2）證明：若方程f（x）=a有兩個根x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），
則$ln{x_1}+\frac{1}{x_1}=ln{x_2}+\frac{1}{x_2}$，即$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=ln\frac{x_2}{x_1}＞0$．
要證x₁+x₂＞2，需證$（{x_1}+{x_2}）•\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，
即證$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，
設$\frac{x_2}{x_1}=t（t＞1）$，則$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，
等價于$t-\frac{1}{t}＞2lnt$．
令$g（t）=t-\frac{1}{t}-2lnt$，則$g'（t）=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}={（1-\frac{1}{t}）^2}＞0$，
所以g（t）在（1，+∞）上單調遞增，
g（t）＞g（1）=0，
即$t-\frac{1}{t}＞2lnt$，
故x₁+x₂＞2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．