Question

【題目】已知函數(shù)（常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；

（2）先求函數(shù)最小值，再根據(jù)最小值分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴．

又∵，

∴曲線在處的切線方程為．

（2）∵，

∴．

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

∴．

討論函數(shù)的零點(diǎn)情況如下：

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，在上也無零點(diǎn)．

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

而，

∴在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)，即時(shí)，

由于，，

，

當(dāng)，即時(shí)，，．

由單調(diào)性可知，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，，而且，，

由單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)沒有零點(diǎn)，

所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．