Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC的中點，∠BAC=90°，∠A₁AC=60°，AB=AC=AA₁=2．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）當(dāng)BC₁=4時，求直線B₁C與平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接A₁C，交AC₁于O，連接OD，證明OD∥A₁B，即可證明：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面ADC₁的法向量，利用向量方法，即可求直線B₁C與平面ADC₁所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于O，連接OD，
∵D為BC的中點，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?，OD?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），D（1，1，0），C₁（0，3，$\sqrt{3}$），B₁（2，1，$\sqrt{3}$），C（0，2，0），
∴$\overline{AD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面ADC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，1，-$\sqrt{3}$），
∴直線B₁C與平面ADC₁所成角的正弦值=|$\frac{-2-1-3}{\sqrt{5}•\sqrt{4+1+3}}$|=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查線面平行，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．