Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）令b_n=$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，證明：b_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$．
（3）令T_n=b₁+b₂+b₃…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）把點（a_n，a_n+1）代入函數(shù)解析式，兩邊取對數(shù)，變形可得數(shù)列{lg（2a_n+1）}是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，證明$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$得答案；
（3）由（2）的結(jié)論，裂項相消求得T_n．

解答 （1）證明：由點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，得a_n+1=2${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，
∴2a_n+1+1=2（2${{a}_{n}}^{2}$+2a_n）+1=$（2{a}_{n}+1）^{2}$，
兩邊取對數(shù)，得lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴數(shù)列{lg（2a_n+1）}是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）證明：由（1）得：數(shù)列{lg（2a_n+1）}是以2為公比的等比數(shù)列，且lg（2a₁+1）=lg5，
∴l(xiāng)g（2a_n+1）=2^n-1•lg5，則2a_n+1=${5}^{{2}^{n-1}}$，∴${a}_{n}=\frac{1}{2}（{5}^{{2}^{n-1}}-1）$，
∴b_n=$\frac{1}{a_n}$+$\frac{1}{{{a_n}+1}}$=$\frac{2}{{5}^{{2}^{n-1}}-1}+\frac{2}{{5}^{{2}^{n-1}}+1}$=$\frac{4•{5}^{{2}^{n-1}}}{{5}^{{2}^{n}}-1}$，
而$\frac{2}{{a}_{n}}-\frac{2}{{a}_{n+1}}=\frac{4}{{5}^{{2}^{n-1}}-1}-\frac{4}{{5}^{{2}^{n}}-1}$=$\frac{4•{5}^{{2}^{n}}-4-4•{5}^{{2}^{n-1}}+4}{（{5}^{{2}^{n-1}}-1）（{5}^{{2}^{n}}-1）}$=$\frac{4•{5}^{{2}^{n-1}}}{{5}^{{2}^{n}}-1}$，
∴b_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$；
（3）解：T_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=$（\frac{2}{{a}_{1}}-\frac{2}{{a}_{2}}）+（\frac{2}{{a}_{2}}-\frac{2}{{a}_{3}}）+…+（\frac{2}{{a}_{n}}-\frac{2}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{2}{{a}_{1}}-\frac{2}{{a}_{n+1}}=1-\frac{2}{\frac{1}{2}（{5}^{{2}^{n}}-1）}$=$1-\frac{4}{{5}^{{2}^{n}}-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．