Question

2．已知函數(shù)$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． $[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$，（k∈Z）
• B． $[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$，（k∈Z）
• C． $[{kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}}]$，（k∈Z）
• D． $[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，（k∈Z）

Answer 1

分析 利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$求出a的值，可得f（x）的解析式，即可求解f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
化簡可得：f（x）=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x．即f（x）=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{4}}$sin（2x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{a}$．
∵有一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，
則$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴φ=kπ$+\frac{π}{6}$．
那么tan（kπ$+\frac{π}{6}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴a=$\sqrt{3}$．
則f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
故選：A．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．