Question

7．已知$sinα+sinβ=\frac{1}{3}$，求y=sinβ-cos²α的最值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，用sinα代替sinβ代入y中，利用三角恒等變換求出y的最大、最小值．

解答 解：∵$sinα+sinβ=\frac{1}{3}$，
∴$sinβ=\frac{1}{3}-sinα$，
∴$y=sinβ-{cos^2}α=\frac{1}{3}-sinα-{cos^2}α=\frac{1}{3}-sinα-（{1-{{sin}^2}α}）$
=${sin^2}α-sinα-\frac{2}{3}={（{sinα-\frac{1}{2}}）^2}-\frac{11}{12}$，
∵-1≤sinβ≤1，∴$-1≤\frac{1}{3}-sinα≤1$，
解得$-\frac{2}{3}≤sinα≤1$，
∴當$sinα=-\frac{2}{3}$時，${y_{max}}=\frac{4}{9}$，
當$sinα=\frac{1}{2}$時，${y_{min}}=-\frac{11}{12}$．

點評 本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)應用問題，是基礎(chǔ)題．