Question

6．已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，∠FAB=45°，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得拋物線的準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由△FAB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，$\frac{2\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$=2即可求得a的值，求得c，利用雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：依題意知拋物線的準(zhǔn)線x=-1．代入雙曲線方程得
y=±$\frac{2\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$．
不妨設(shè)A（-1，$\frac{2\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$），
∵∠FAB=45°，則△FAB是等腰直角三角形，
則丨FC丨=丨AC丨，即$\frac{2\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$=2，解得：a²=$\frac{1}{2}$，
∴c²=a²+b²=$\frac{1}{2}$+4=$\frac{9}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=3，
則雙曲線的離心率為3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．