已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),過點(diǎn)作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點(diǎn),連結(jié)、分別交直線于、兩點(diǎn),試探究直線、的斜率之積是否為定值,若為定值,請求出;若不為定值,請說明理由.
(1);(2)詳見解析.
解析試題分析:(1)由直線和圓相切,求,再由離心率,得,從而求,進(jìn)而求橢圓的方程;(2)要說明直線、的斜率之積是否為定值,關(guān)鍵是確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo).首先設(shè)直線的方程,并與橢圓聯(lián)立,設(shè),利用三點(diǎn)共線確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo),再計算直線、的斜率之積,這時會涉及到,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,研究其值是否為定值即可.
試題解析:(1),故 4分
(2)設(shè),若直線與縱軸垂直,
則中有一點(diǎn)與重合,與題意不符,
故可設(shè)直線. 5分
將其與橢圓方程聯(lián)立,消去得:
6分
7分
由三點(diǎn)共線可知,,, 8分
同理可得 9分
10分
而 11分
所以
故直線、的斜率為定值. 13分
考點(diǎn):1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì);2、直線和橢圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(已知拋物線()的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).
(1)求拋物線的方程,并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)是否存在過焦點(diǎn)的直線(直線與拋物線交于點(diǎn),),使得三角形的面積?若存在,請求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,離心率為的橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離的最大值為3,過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)、和、,且滿足,其中為常數(shù),過點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn),求直線的方程,并證明點(diǎn)平分線段.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的一個焦點(diǎn)為,離心率為.設(shè)是橢圓長軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率,且直線是拋物線的一條切線.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn),直線,判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由;
(3)過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A,試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M
(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),若過M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB,求直線l的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn),試問,是否存在軸上的點(diǎn),使得對任意的,為定值,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的方程為,其中.
(1)求橢圓形狀最圓時的方程;
(2)若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn),證明:點(diǎn)在一個定圓上.
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