17.已知拋物線C的方程x2=2px,M(2,1)為拋物線C上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點.
( I)求|MF|;
( II)設(shè)直線l2:y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P,且與直線l1:y=-1相交于點Q,試問,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使得以PQ為直徑的圓恒過點N?若存在,求出點N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

分析 (I)求得p=2,根據(jù)拋物線的定義,即可得到所求|MF|;
(II)假設(shè)存在點N,使得以PQ為直徑的圓恒過點N,由直線l2:y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P知,直線l2與拋物線C相切,利用導(dǎo)數(shù)求出直線l2的方程,進(jìn)而求出Q點坐標(biāo),根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,利用$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=0,求出N點坐標(biāo).

解答 解:(I)由題可知2p=4,即p=2,由拋物線的定義可知|MF|=1+1=2…(4分)
(II)由拋物線C關(guān)于y軸對稱可知,若存在點N,使得以PQ為直徑的圓恒過點N,
則點N必在y軸上,設(shè)N(0,n),
又設(shè)點P(x0,$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$),
由直線l2:y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P知,直線l與拋物線C相切,
由y=$\frac{1}{4}$x2得y′=$\frac{1}{2}$x,可得直線l2的斜率為$\frac{1}{2}$x0
可得直線l的方程為y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x0(x-x0),
令y=-1得x=$\frac{1}{2}$x0-$\frac{2}{{x}_{0}}$,
可得Q點的坐標(biāo)為($\frac{1}{2}$x0-$\frac{2}{{x}_{0}}$,-1),
即有$\overrightarrow{NP}$=(x0,$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n),$\overrightarrow{NQ}$=($\frac{1}{2}$x0-$\frac{2}{{x}_{0}}$,-1-n),
由點N在以PQ為直徑的圓上,
可得$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-(1+n)($\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n)=(1-n)•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+n2+n-2=0,(*)
要使方程(*)對x0恒成立,必須有$\left\{\begin{array}{l}{1-n=0}\\{{n}^{2}+n-2=0}\end{array}\right.$,解得n=1,
則在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點N,使得以PQ為直徑的圓恒過點N,其坐標(biāo)為(0,1).…(12分)

點評 本題考查了拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系,這類題目考查比較靈活,解決問題時注意幾何關(guān)系向代數(shù)關(guān)系(即坐標(biāo)關(guān)系)的轉(zhuǎn)化.

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