Question

6．已知函數(shù)f（x）=xe^x-m有2個(gè)零點(diǎn)都大于-2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{2}{{e}^{2}}$）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及零點(diǎn)的范圍和單調(diào)性得出f（-2）＞0，從而得出m的范圍．

解答 解：解：∵f（x）=x•e^x-m，
∴f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1），
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最小值f（-1）=-$\frac{1}{e}$-m，
且當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-m，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
∵f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上各有1個(gè)零點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m＞0}\\{-\frac{1}{e}-m＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{e}$＜m＜0，
∵f（x）的零點(diǎn)都大于-2，
∴f（-2）＞0，即$\frac{-2}{{e}^{2}}$-m＞0，解得m＜-$\frac{2}{{e}^{2}}$．
故答案為（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{2}{{e}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性、極值與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．