Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，且過點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線c交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，點滿足雙曲線的方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可知a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，由此能求出雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線x-y+m=0和雙曲線的方程，消去y，得x²-2mx-m²-2=0，故x₁+x₂=2m，所以AB中點（m，2m），代入圓方程能求出m的值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
代入點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，
又a²+b²=c²，
解得a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直線x-y+m=0代入雙曲線的方程2x²-y²=2，
消去y可得x²-2mx-m²-2=0，
△=4m²+4（m²+2）＞0恒成立．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=2m，
AB的中點坐標(biāo)為（m，2m），
由線段AB的中點在圓x²+y²=5上，
可得m²+4m²=5，解得m=±1．

點評 本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．