Question

6．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，$C=\frac{π}{3}$，a+b=1，則△ABC周長(zhǎng)的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由a+b及cosC的值，利用余弦定理表示出一個(gè)關(guān)系式，配方后利用基本不等式即可求出c的最小值，進(jìn)而得到a+b+c的最小值．

解答 解：由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
又a+b=1，cosC=$\frac{1}{2}$，
所以c²=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=a時(shí)取等號(hào)，
所以c的最小值為$\frac{1}{2}$，則a+b+c的最小值為$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及完全平方公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道基礎(chǔ)題．本題注意利用不等式（ $\frac{a+b}{2}$）²≥ab來(lái)進(jìn)行解答．