19.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足bcosA+(2c+a)cosB=0.
(1)求角B的大;
(2)若b=4,△ABC的面積為$\sqrt{3}$,求a+c的值.

分析 (1)利用正弦定理、和差公式化簡即可得出.
(2)利用余弦定理、三角形面積計算公式即可得出.

解答 解:(1)∵bcosA+(2c+a)cosB=0,
∴sinBcosA+(2sinC+sinA)cosB=0,化為sin(A+B)+2sinCcosB=0,
∴sinC+2sinCcosB=0,∵sinC≠0,∴cosB=-$\frac{1}{2}$,
∵B∈(0,π),∴B=$\frac{2π}{3}$.
(2)由余弦定理可得:42=a2+c2-2ac$cos\frac{2π}{3}$,可得a2+c2+ac=16.
由S=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$,可得ac=4.
∴(a+c)2=16+ac=20,
解得a+c=2$\sqrt{5}$.

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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②“若a、b∈R,則a-b>0⇒a>b”類比推出“若a、b∈C,則a-b>0⇒a>b;
③“若a、b、c、d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di⇒a=c,b=d”類比推出“a、b、c、d∈Q,則a+b$\sqrt{2}$=c+d$\sqrt{2}$⇒a=c,b=d”;
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