Question

19．在如圖所示的幾何體中，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）當(dāng)AE與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{1}{2}$時，求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點(diǎn)G，連接EG、AG，則EG∥CC₁∥BB₁，可得EG∥平面BDB₁，再由AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，可得四邊形ABDG為平行四邊形，則AG∥BD，從而AG∥平面BDB₁，由面面平行的判定可得平面AEG∥平面BDB₁，
則AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）由已知求得直三棱柱的高，然后由直三棱柱的體積與三棱錐B₁-BCD的體積作和求得幾何體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取CD中點(diǎn)G，連接EG、AG，
則EG∥CC₁∥BB₁，∴EG∥平面BDB₁，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，∴四邊形ABDG為平行四邊形，則AG∥BD．
∴AG∥平面BDB₁，
又AG∩GE=G，∴平面AEG∥平面BDB₁，
則AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）解：在平面ABCD內(nèi)，過B作BM⊥CD，垂足為M，
在Rt△BMD中，∵BD=2，∠BDC=60°，∴DM=1，BM=$\sqrt{3}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BM=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×CD×BM=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
∵AE與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，∴tan∠EAG=$\frac{1}{2}$，
又AG=BD=2，∴EG=1，則CC₁=2．
∴幾何體的體積V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}+{V}_{{B}_{1}-BCD}$=$\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2=\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面平行的判定及性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，屬中檔題．