Question

20．已知方程x²+y²+2x-2y+1=0．
（1）求x²+y²的最大值．
（2）求$\frac{y-2}{x-1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將圓C化為標準方程，找出圓心與半徑，所求式子表示圓上點到原點距離的平方，從而求x²+y²的最大值；
（2）令$\frac{y-2}{x-1}$=k，則kx-y-k+2=0，利用圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求$\frac{y-2}{x-1}$的取值范圍．

解答 解：（1）圓x²+y²+2x-2y+1=0化為標準方程為（x+1）²+（y-1）²=1，圓心為（-1，1），半徑為1
∴x²+y²的最大值是$\sqrt{2}$+1；
（2）令$\frac{y-2}{x-1}$=k，則kx-y-k+2=0．    
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
解得0≤k≤$\frac{4}{3}$．

點評 本小題主要考查直線和圓相交，相切的有關(guān)性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．