Question

16．已知$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，x∈R，且f（x）為奇函數(shù)．
（I）求a的值及f（x）的解析式；
（II）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，對應(yīng)的f（-x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；
（Ⅱ）直接根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的值域即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
即a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$+a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=0，
解得：a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R遞減，
∴f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R遞增．

點評 本題主要考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合．解決問題的關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為f（-x）+f（x）=0恒成立求出a的值．