Question

8．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$，則數列$\{a_n^2\}$的前n項和T_n=$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．

Answer 1

分析 根據已知條件${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$推出等比數列的通項公式a_n，進而可求a_n²，且可得數列{a_n²}是以4為首項，以4為公比的等比數列，由等比數列的求和公式可求

解答 解：當n=1時，a₁=S₁=$\frac{4}{3}$（a₁-1），則a₁=4．
當n≥2時，∵${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$，①
∴S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-1），②
由①-②，得
a_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{4}{3}$a_n-1，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），
∴{a_n}是一個以4為首項，4為公比的等比數列，
則a_n=4ⁿ．
∴數列{a_n²}是以16為首項，以16為公比的等比數列，
由等比數列的求和公式可得，T_n=$\frac{16（1-1{6}^{n}）}{1-16}$=$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．
故答案是：$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．

點評 本題主要考查了等比數列的通項公式的求解，等比數列的性質的應用，等比數列的求和公式的應用，屬于基本知識的綜合應用．