Question

12．某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，將實(shí)行階梯水價(jià)，該市每戶居民每月用水量劃分為三級(jí)，水價(jià)實(shí)行分級(jí)遞增．第一級(jí)水量：用水量不超過20噸，水價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.5元/噸； 第二級(jí)水量：用水量超過20但不超過30噸，超出第一級(jí)水量的部分，水價(jià)為2.25元/噸； 第三級(jí)水量：用水量超過30噸，超出第二級(jí)水量的部分，水價(jià)為3.0元/噸．隨機(jī)調(diào)查了該市1000戶居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下的頻率分布表：

用水量（噸）	[0，10]	（10，20]	（20，30]	（30，40]	（40，50]	合計(jì)
頻數(shù)	200	400	200	b	100	1000
頻率	0.2	a	0.2	0.1	c	1

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b，c的值；從該市調(diào)查的1000戶居民中隨機(jī)抽取一戶居民，求該戶居民用水量不超過30噸的概率；
（Ⅱ）從1000戶居民中按用水三個(gè)等級(jí)分層抽取5戶幸運(yùn)者，發(fā)給大獎(jiǎng)兩份和幸運(yùn)獎(jiǎng)三份共5份，每戶一份，求兩份大獎(jiǎng)獲得者的都是節(jié)水型用戶（用水量不超過20噸的居民）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出a，b，c．設(shè)“該戶居民月用水量不超過30噸”為事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出該居民月用水量不超過30噸的概率．
（Ⅱ）設(shè)“獲得兩份大獎(jiǎng)的都是節(jié)水型用戶”為事件B．由分層抽樣可得，第一級(jí)抽取了3人，記為a₁，a₂，a₃，第二級(jí)抽取1人，記為b，第三級(jí)抽取1人，記為c，利用列舉法能求出兩份大獎(jiǎng)獲得者的都是節(jié)水型用戶的概率．

解答 解：（Ⅰ）由意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{400}{1000}=a}\\{\frac{1000}=0.1}\\{\frac{100}{1000}=c}\end{array}\right.$，解得a=0.4，b=100，c=0.1．…（3分）
設(shè)“該戶居民月用水量不超過30噸”為事件A．
由表可知：所以該居民月用水量不超過30噸的概率：
P（A）=0.2+0.4+0.2=0.8．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)“獲得兩份大獎(jiǎng)的都是節(jié)水型用戶”為事件B．
由分層抽樣可得，第一級(jí)抽取了3人，記為a₁，a₂，a₃，第二級(jí)抽取1人，記為b，
第三級(jí)抽取1人，記為c（6分）
則所有基本事件為：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），
（a₁，c），（a₂，b），（a₂，c），（a₃，b），（a₃，c），（b，c）共10種  （8分）
事件B所包含的基本事件有：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃）共3種
則P（B）=$\frac{3}{10}$，
所以兩份大獎(jiǎng)獲得者的都是節(jié)水型用戶的概率為$\frac{3}{10}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．