Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線與圓${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程，由圓的方程可得其圓心坐標(biāo)以及半徑，由雙曲線的漸近線與圓相切，則有$\frac{2\sqrt{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，變形可得3a²=2c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，由離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即bx±ay=0，
圓${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$的圓心為（2$\sqrt{2}$，0），半徑為$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
若雙曲線的漸近線與圓相切，則有$\frac{2\sqrt{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
化簡可得3a²=2c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
則其離心率e=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，