Question

7．定義域為R的函數f（x）滿足f（x+3）=2f（x），當x∈[-1，2）時，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
若存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，則實數t的取值范圍是（-∞，1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 運用二次函數的最值求法和指數函數的單調性，討論分段函數的兩段的最小值，再由f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+3），由圖象左右平移可知，函數的最值不變，可得x∈[-4，-1），f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，由題意可得t²-3t≥-2，解不等式即可得到所求t的范圍．

解答 解：當x∈[-1，2）時，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
當x∈[-1，0）時，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，僅有x=-$\frac{1}{2}$時，取得最小值-$\frac{1}{4}$；
當x∈[0，2）時，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^|x-1|∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
可得x=1時，取得最小值-1；
則當x∈[-1，2）時，f（x）的最小值為-1．
當x∈[-4，-1），x+3∈[-1，2），
由f（x+3）=2f（x），可得
f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+3），由圖象左右平移可知，函數的最值不變，
可得此時f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，
由存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，
可得t²-3t≥4f（x）的最小值，即為t²-3t≥-2，
解得t≥2或t≤1，
故答案為：（-∞，1]∪[2，+∞）．

點評 本題考查不等式的存在性問題的解法，注意運用轉化思想，考查分段函數的最值的求法，注意運用二次函數和指數函數的性質，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．