Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）當時，記的最小值為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞增；當時，在上單調遞減，在單調遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對a分兩種情況討論，利用導數求函數的單調區(qū)間；（2）由（1）知，

， 再構造函數，，求得取得最大值小于即得證.

（1）因為的定義域為，

又，

所以當時，，在單調遞增．

當時，若時，，在單調遞減；

若時，，在單調遞增．

綜上，當時，在單調遞增；

當時，在　上單調遞減，在單調遞增．

（2）當時，由（1）知，

，

令，，則，

令，，則，

所以在單調遞減，

又，，所以存在，

使得，且，

所以當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以當時，取得最大值，

因為

，

令，，

則在單調遞減，

所以，所以，

因此當時，，即．