Question

2．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$不共線，且對任意實數(shù)x，不等式$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≥|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$恒成立，則下列結(jié)論一定成立的是（　　）

• A． $\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-${\overrightarrow b^2}$=0
• B． ${\overrightarrow a^2}-\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0
• C． $\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$
• D． $|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$

Answer 1

分析 兩邊平方得出關(guān)于x的恒等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出不等式化簡即可得出答案．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≥|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$恒成立，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+x²${\overrightarrow}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$恒成立，
即x²${\overrightarrow}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$x-${\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥0恒成立，
∴△=4（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²-4${\overrightarrow}^{2}$（2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$）≤0，
∴（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$•${\overrightarrow}^{2}$+${\overrightarrow}^{4}$≤0，
即（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$）²≤0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow}^{2}$．
故選A．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．