Question

【題目】用表示一個小于或等于的最大整數(shù).如：，，. 已知實數(shù)列、、對于所有非負(fù)整數(shù)滿足，其中是任意一個非零實數(shù).

（Ⅰ）若，寫出、、；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的最小值；

（Ⅲ）證明：存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）最小值為；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由，代入可得，同理可得：、；

（Ⅱ）由，可得，，設(shè)，，可得，因此，. 又因，可得，. 假設(shè)，都有成立，可得：，，利用累加求和方法可得，，則當(dāng)時，，得出矛盾，，從而可得出的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，存在，，可得，，由此得出，，成立.；若，，推導(dǎo)出數(shù)列單調(diào)不減.由是負(fù)整數(shù)，可知存在整數(shù)和負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，.所以，當(dāng)時，，轉(zhuǎn)化為，令，即，.經(jīng)過討論：當(dāng)時，得證.當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，，則，則有界，進(jìn)而證明結(jié)論.

（Ⅰ），，

同理可得：，；

（Ⅱ）因，則，所以，

設(shè)，，則，所以，.

又因，則，則，.

假設(shè)，都有成立，則，

則，，即，，

則，，則當(dāng)時，，

這與假設(shè)矛盾，所以，不成立，

即存在，，從而的最小值為；

（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，存在，，

所以，所以，所以，，成立.

當(dāng)時，若存在，，則，，得證；

若，，則，則，

則，，所以數(shù)列單調(diào)不減.

由于是負(fù)整數(shù)，所以存在整數(shù)m和負(fù)整數(shù)c，使得當(dāng)時，.

所以，當(dāng)時，，則，令，

即，.

當(dāng)時，則，，則，，得證.

當(dāng)時，，，，，

因當(dāng)時，，則，則有界，

所以，所以負(fù)整數(shù).

，則

令，滿足當(dāng)時，.

綜上，存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，.