Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，（x＜1）}\\{{x}^{3}-9{x}^{2}+24x-16，（x≥1）}\end{array}\right.$，則關于x的方程f（x）=a（a為實數(shù)）根個數(shù)不可能為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，計算f（x）的極值，作出y=f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出方程f（x）=a的解的情況．

解答 解：當x＜1時，f（x）為增函數(shù)，且f（0）=0；
當x≥1時，f′（x）=3x²-18x+24，
令f′（x）=3x²-18x+24=0，得x=2或x=4．
當1＜x＜2時，f′（x）＞0，當2＜x＜4時，f′（x）＜0，當x＞4時，f′（x）＞0，
∴當x=2時，f（x）取得極大值f（2）=4，當x=4時，f（x）取得極小值f（4）=0，
作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知：當a≤-1時，方程f（x）=a無解，
當-1＜a＜0或a＞4時，方程f（x）=a有1個解，
當a=0或e-1≤a＜4時，方程f（x）=a有3個解，
當a=4時，方程f（x）=a有2個解，
當0＜a＜e-1時，方程f（x）=a有4個解．
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)單調性的判斷，函數(shù)零點的個數(shù)與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題．