Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₃=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若等比數(shù)列{c_n}（n∈N*）中，c₂=a₂，c₃=a₅，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Q_n．

Answer 1

分析 （1）把已知條件都用首項(xiàng)以及公差d表示出來(lái)，求出首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解答；
（2）利用（1）的結(jié)論易得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$），即利用裂項(xiàng)可求和；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義推知公比q=3，首項(xiàng)c₁=1，所以由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行解答．

解答 解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)以及公差分別為：a₁，d．
所以有a₃=a₁+2d=5  ①，
$\frac{3（{a}_{1}+5）}{2}=9$  ②
聯(lián)立①②解得：a₁=1，d=2，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）知，a_n=2n-1．
則${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（3）∵c₂=a₂=3，c₃=a₅=9，
∴q=3，
∴c₁=1，
∴Q_n=$\frac{1×（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用定義法和裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵．