Question

11．已知函數(shù)$f（x）=aln（x+1），g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-ax$，h（x）=e^x-1．
（Ⅰ）當x≥0時，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當x＜0時，研究函數(shù)F（x）=h（x）-g（x）的零點個數(shù)；
（Ⅲ）求證：$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）構(gòu)造輔助函數(shù)，H（x）=h（x）-f（x），根據(jù)a的取值范圍，求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得H（x）的最小值．即可a的取值范圍；
（Ⅱ）當a在R上變化時，討論函數(shù)f （x）與g （x）的圖象公共點的個數(shù)，即討論F（x）=h（x）-g（x）的零點的個數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=1時，e^x＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，令$x=-\frac{1}{10}$，${e^{-\frac{1}{10}}}＞\frac{1}{3}{（-\frac{1}{10}）^3}-\frac{1}{10}+1=\frac{2699}{3000}$，則$\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）令H（x）=h（x）-f（x）=e^x-1-aln（x+1）（x≥0）則$H'（x）={e^x}-\frac{a}{x+1}（{x≥0}）$
①若a≤1，則$\frac{a}{x+1}≤1≤{e^x}$，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，H（x）≥H（0）=0，
即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，a≤1，
a的取值范圍（-∞，1]；              …（2分）
②若a＞1，$H'（x）={e^x}-\frac{a}{x+1}$在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1-a且1-a＜0，
且x→+∞時，H'（x）→+∞，
則?x₀∈（0，+∞）使H'（x₀）=0進而H（x）在[0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
所以當x∈（0，x₀）時H（x）＜H（0）=0，
即當x∈（0，x₀）時，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；
綜合①，②知a的取值范圍為（-∞，1]；…（4分）
（Ⅱ）依題意得$F（x）=h（x）-g（x）={e^x}-1-\frac{1}{3}{x^3}+ax（{x＜0}）$，則F'（x）=e^x-x²+a，
則F''（x）=e^x-2x＞0在（-∞，0）上恒成立，故F'（x）=e^x-x²+a在（-∞，0）遞增，
所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→-∞時，F(xiàn)'（x）→-∞；
①若1+a≤0，即a≤-1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（-∞，0）遞減，
∴F（x）＞F（0）=0，F(xiàn)（x）在（-∞，0）無零點；                 …（6分）
②若1+a＞0，即a＞-1，則$?{x_0}^′∈（-∞，0）$使$F'（{x_0}^′）=0$，
進而F（x）在$（-∞，{x_0}^′）$遞減，在$（{x_0}^′，0）$遞增，
$F（{x_0}^′）＜F（0）=0$且x→-∞時，$F（x）=（{e^x}-1）-\frac{1}{3}x（{x^2}-3a）→+∞$，
F（x）在$（-∞，{x_0}^′）$上有一個零點，在$[{x_0}^′，0）$無零點，
故F（x）在（-∞，0）有一個零點．
綜合①②，當a≤-1時無零點；當a＞1時有一個公共點．…（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，e^x＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，
令$x=\frac{1}{10}$，則${e^{\frac{1}{10}}}＞1+ln1.1≈1.0953＞\frac{1095}{1000}$即$\root{10}{e}＞\frac{1095}{1000}$；       …（10分）
由（Ⅱ）知，當a=-1時，${e^x}＞\frac{1}{3}{x^3}+x+1$對x＜0恒成立，
令$x=-\frac{1}{10}$，則${e^{-\frac{1}{10}}}＞\frac{1}{3}{（-\frac{1}{10}）^3}-\frac{1}{10}+1=\frac{2699}{3000}$，
∴$\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$；
故有$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$．…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值及最值得關(guān)系，函數(shù)零點的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造法，考查計算能力，屬于難題．