Question

10．已知數列{x_n}滿足$lg{x_{n+1}}=1+lg{x_n}（{n∈{N^*}}）$，且x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，則lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）=100．

Answer 1

分析 法一：由已知得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，${x}_{1}=\frac{9}{1{0}^{100}-1}$，從而得到x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=10¹⁰⁰，由此能求出lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）．
法二：由已知得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，從而利用等比數列的性質，可知，x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=10¹⁰⁰（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀）=10¹⁰⁰，由此能求出lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）．

解答 解法一：∵數列{x_n}滿足$lg{x_{n+1}}=1+lg{x_n}（{n∈{N^*}}）$=lg（10x_n），
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，
∵x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
∴$\frac{{x}_{1}（1-1{0}^{100}）}{1-10}$=1，∴${x}_{1}=\frac{9}{1{0}^{100}-1}$，
${x}_{101}=\frac{9}{1{0}^{100}-1}×1{0}^{100}$，
∴x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=$\frac{\frac{9}{1{0}^{100}-1}×1{0}^{100}（1-1{0}^{100}）}{1-10}$=10¹⁰⁰，
則lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）=lg10¹⁰⁰=100．
故答案為：100．
解法二：∵數列{x_n}滿足$lg{x_{n+1}}=1+lg{x_n}（{n∈{N^*}}）$=lg（10x_n），
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=10$，
∵x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
∴等比數列的性質，可知，x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=10¹⁰⁰（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀）=10¹⁰⁰，
∴l(xiāng)g（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）=lg10¹⁰⁰=100．
故答案為：100．

點評 本題考查對數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．