Question

14．班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，求樣本中男生、女生人數分別是多少；
（Ⅱ）隨機抽取8位同學，數學成績由低到高依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績由低到高依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，若規(guī)定90分（含90分）以上為優(yōu)秀，記ξ為這8位同學中數學和物理分數均為優(yōu)秀的人數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （I）利用分層抽樣的性質能求出按性別比例分層抽樣抽取女生數和男生數．
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答 解：（I）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，
按性別比例分層抽樣抽取女生數為：$\frac{25}{25+15}×8$=5人，
男生數為：$\frac{15}{40}×8=3$人．…4分
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2…5分，
$P（ξ=0）=\frac{A_5^2A_6^6}{A_8^8}=\frac{20}{56}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_2^1C_3^1C_5^1A_6^6}{A_8^8}=\frac{30}{56}$，
$P（ξ=2）=\frac{A_3^2A_6^6}{A_8^8}=\frac{6}{56}$…8分
ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	$\frac{20}{56}$	$\frac{30}{56}$	$\frac{6}{56}$

$Eξ=0×\frac{20}{56}+1×\frac{30}{56}+2×\frac{6}{56}=\frac{3}{4}$…12分．

點評 本題考查分層抽樣的應用，離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想，是中檔題．