Question

4．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線C₂：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）C與C₁，C₂交于不同四點(diǎn)，這四點(diǎn)在C上的排列順次為H，I，J，K，求||HI|-|JK||的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)四點(diǎn)在C上的排列順次至上而下為H，I，J，K，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，t₄，連結(jié)C₁，J，則△C₁IJ為正三角形，||HI|-|JK||=||HI|-|IK|+|IJ||=||t₁|-|t₄|+1|=|-（t₁+t₄）+1|，把曲線C的參數(shù)方程代入y²=4x，得3t²+8t-32=0，由此能求出||HI|-|JK||的值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1．
∵曲線C₂：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．
∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
（Ⅱ）不妨設(shè)四點(diǎn)在C上的排列順次至上而下為H，I，J，K，
它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，t₄，如圖，連結(jié)C₁，J，
則△C₁IJ為正三角形，
∴|IJ|=1，||HI|-|JK||=||HI|-|IK|+|IJ||=||t₁|-|t₄|+1|=|-（t₁+t₄）+1|，
把曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=4x，
得：$\frac{3}{4}{t}^{2}=8-2t$，即3t²+8t-32=0，故${t}_{1}+{t}_{4}=-\frac{8}{3}$，
∴||HI|-|JK||=$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線差的絕對(duì)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．