Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+b）e^x．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（2）當(dāng)0＜b≤2時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b=1時(shí)求出函數(shù)的f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，利用導(dǎo)函數(shù)大于0，求解即可．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．求出極值點(diǎn)，通過極值點(diǎn)的大小，0＜b≤1時(shí)1＜b＜2時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出M即可．

解答 解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=（x²+x+1）e^x，
所以f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（-1，+∞）．----------（5分）
（2）因?yàn)閒（x）=（x²+bx+b）e^x，所以f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
當(dāng)-2≤-2b，即0＜b≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-2b，-b）上單調(diào)遞減，在（-b，b）上單調(diào)遞增，
所以M=max{f（-2b），f（b）}，
因?yàn)閒（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
所以M=f（b）．
當(dāng)-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-2b，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，-b）上單調(diào)遞減，
在（-b，b）上單調(diào)遞增．
所以M=max{f（-2），f（b）}，
因?yàn)閒（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b²+2b-4
=2-＞0（1＜b＜2），
所以M=f（b）．
當(dāng)-2=-b，即b=2時(shí)，f′（x）≥0，
函數(shù)f（x）在（-2b，b）上單調(diào)遞增，
所以M=f（b）．
綜上所述，M=f（b）=（2b²+b）e^b．----------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．