Question

【題目】已知，設函數(shù).

（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范圍；

（2）對任意恒成立時，的最大值為1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)得，分別討論時函數(shù)在區(qū)間的最大值點是否符合題意即可；

（2），構(gòu)造函數(shù)，道的最大值為，等價于在區(qū)間上恒成立，由于，則，此時恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.

試題解析：（1），

①當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，由，得在時無解，

②當時，不合題意；

③當時，在單調(diào)遞增，在遞減，在單調(diào)遞增，

∴即，∴，

④當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，滿足條件，

綜上所述：時，存在，使得是在上的最大值.

（2）對任意恒成立，

即對任意恒成立，令

，，根據(jù)題意，可以知道的最大值為1，則

恒成立，

由于，則，

當時，，則，若，則在上遞減，在上遞增，則，∴在上是遞增的函數(shù).

∴，滿足條件，∴的取值范圍是.