Question

3．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．求：
（1）直線BD₁面ABCD所成角正切值；
（2）平面PAC與面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由DD₁⊥平面ABCD，知∠D₁BD是直線BD₁面ABCD所成角，由此能求出直線BD₁面ABCD所成角正切值．
（2）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)PO，∠POD是平面PAC與面ACD所成角，由此能求出平面PAC與面ACD所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
DD₁⊥平面ABCD，
∴∠D₁BD是直線BD₁面ABCD所成角，
∴tan∠D₁BD=$\frac{D{D}_{1}}{BD}$=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴直線BD₁面ABCD所成角正切值為$\sqrt{2}$．
（2）∵AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)，
∴PC=PA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，CO=DO=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)PO，
則PO⊥AC，DO⊥AC，
∴∠POD是平面PAC與面ACD所成角，
PO=$\sqrt{P{C}^{2}-C{O}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sin∠POD=$\frac{PD}{PO}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面PAC與面ACD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正切值的求法，考查面面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．