Question

17．已知橢圓焦點在x軸上，下頂點為D（0，-1），且離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．經(jīng)過點M（1，0）的直線L與橢圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求|AM|的取值范圍．
（Ⅲ）在x軸上是否存在定點P，使∠MPA=∠MPB．若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$由已知得$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，又a²=b²+c²，∴a²=3，b²=1，
（Ⅱ） 設(shè)A（x₁，y₁），用x₁，y₁表示|AM|，再利用$\frac{x_1^2}{3}+y_1^2=1$，求出|AM|的最小值．
（Ⅲ）假設(shè)x軸上存在定點P（m，0）滿足條件，B（x₂，y₂）．當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L方程為：y=k（x-1）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y整理得，（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{3{k^2}-3}}{{1+3{k^2}}}$，由∠MPA=∠MPB得k_PA+k_PB=0，即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$由已知得$b=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
又a²=b²+c²，∴a²=3，b²=1，即橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（2分）
（Ⅱ） 設(shè)A（x₁，y₁），
即$\frac{x_1^2}{3}+y_1^2=1$，$|AM|=\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+y_1^2}=\sqrt{x_1^2-2{x_1}+1+（1-\frac{x^2}{3}）}=\sqrt{\frac{{2{x^2}}}{3}-2{x_1}+2}$
又$-\sqrt{3}≤x≤\sqrt{3}$，得$\frac{{2{x^2}}}{3}-2{x_1}+2=\frac{2}{3}{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$
∴所以當(dāng)x₁=時，|AM|的最小值為$\frac{1}{2}$…6分
（Ⅲ）假設(shè)x軸上存在定點P（m，0）滿足條件，B（x₂，y₂）．
當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L方程為：y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y整理得，（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{3{k^2}-3}}{{1+3{k^2}}}$…（8分）
由∠MPA=∠MPB得k_PA+k_PB=0，即$\frac{{{x_1}-1}}{y_1}+\frac{{{x_2}-1}}{y_2}=0$，…（8分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）即$\frac{{{x_1}-m}}{y_1}+\frac{{{x_2}-m}}{y_2}=\frac{{{x_1}-m}}{{k（{x_1}-1）}}+\frac{{{x_2}-m}}{{k（{x_2}-1）}}=\frac{{2{x_1}{x_2}-（m+1）（{x_1}+{x_2}）+2m}}{{{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$=0．
$2×\frac{{3{k^2}-3}}{{1+3{k^2}}}-（m+1）\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}+2m=\frac{-6+2m}{{1+3{k^2}}}=0$，
即m=3，P（3，0）
當(dāng)直線L的斜率不存在時，也滿足條件．
∴定點P坐標(biāo)為（3，0）…（12分）

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系、范圍問題、定點問題，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．