Question

【題目】已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與直線，交于點(diǎn)，（為原點(diǎn)），求證：為線段中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，可得圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，從而得出方程；

（2）設(shè)，，設(shè)直線斜率為，則直線方程為，與拋物線聯(lián)立得出，且，寫出韋達(dá)定理，，再通過(guò)直線的交點(diǎn)分別求出和，從而求出，結(jié)合韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)得，即可證出：為線段中點(diǎn)．

解：（1）由題意知，動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，

由拋物線定義知，

動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，

其中，

即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為:.

（2）設(shè)，，顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)為，

則直線方程為，

將與拋物線方程：聯(lián)立，

得，，，，

又，聯(lián)立得，

同理可得，

則

，

即，

所以為線段中點(diǎn)．