分析 (Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可;
(Ⅱ)在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$]上,f(x)>0恒成立?f(x)max>0恒成立,令f′(x)=0,解得x=0或x=$\frac{1}{a}$,以下分兩種情況0<a≤2,a>2討論,分類求出函數(shù)最大值即可.
解答 (Ⅰ)當(dāng)a=1時,f(x)=x3-$\frac{3}{2}$x2+1,f(3)=$\frac{29}{2}$;
f′(x)=3x2-3x,f′(3)=18,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程為y-$\frac{29}{2}$=18(x-3),即36x-2y-79=0.…(5分)
(Ⅱ)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1),
令f′(x)=0,解得x=0或x=$\frac{1}{a}$,…(7分)
以下分兩種情況討論:
若0<a≤2,則$\frac{1}{a}≥\frac{1}{2}$:
當(dāng)x∈(-$\frac{1}{2},0$)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(0,$\frac{1}{2}$)時,f′(x)<0,∴f當(dāng)x∈(-$\frac{1}{2},0$)時,f(x)遞增,當(dāng)x∈(0,$\frac{1}{2}$)時,f(x)遞減,
當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2},\frac{1}{2}$]時,f(x)>0等價于$\left\{\begin{array}{l}{f(-\frac{1}{2})>0}\\{f(\frac{1}{2})>0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-a}{8}>0}\\{\frac{5+a}{8}>0}\end{array}\right.$,
解不等式組得-5<a<5,因此0<a≤2;…(9分)
若a>2,則$0<\frac{1}{a}<\frac{1}{2}$,
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x | (-$\frac{1}{2}$,0) | 0 | (0,$\frac{1}{a}$) | $\frac{1}{a}$ | ($\frac{1}{a}$,$\frac{1}{2}$) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,及恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題的處理,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [$\sqrt{7}$-1,$\sqrt{7}$+1] | B. | ($\sqrt{7}$-1,$\sqrt{7}$+1) | C. | [1,2] | D. | (1,2) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 平行四邊形 | B. | 菱形 | C. | 矩形 | D. | 正方形 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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