Question

20．已知函數(shù)f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），x∈R，若f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{5}{12}$]
• B． （0，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{12}$）
• C． （0，$\frac{5}{6}$]
• D． （0，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{12}$]

Answer 1

分析 利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的周期，列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx=sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
可得T=$\frac{2π}{ω}$≥π，0＜ω≤2，f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)的圖象如圖兩種類(lèi)型，結(jié)合三角函數(shù)可得：
$\left\{\begin{array}{l}{ωπ+\frac{π}{6}≥0}\\{2ωπ+\frac{π}{6}≤π}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{πω+\frac{π}{6}≥π}\\{2ωπ+\frac{π}{6}≤2π}\end{array}\right.$，

解得ω∈（0，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{12}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力．