A. | e+1 | B. | e+$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{e}{2}$ | D. | $\frac{e}{4}$ |
分析 利用不等式ex-(a+1)x-b≥0(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在R上恒成立,利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性求出a,b的關(guān)系,再次利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性(a+1)b的最大值.
解答 解:不等式ex-(a+1)x-b≥0(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在R上恒成立,令f(x)=ex-(a+1)x-b,則f(x)≥0在R上恒成立.
只需要f(x)min≥0即可.
f′(x)=ex-(a+1)
令f′(x)=0,
解得x=ln(a+1),(a>-1)
當(dāng)x∈(-∞,ln(a+1))時(shí),f′(x)<0,則f(x)時(shí)單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(ln(a+1),+∞)時(shí),f′(x)>0,則f(x)時(shí)單調(diào)遞增.
故x=ln(a+1)時(shí),f(x)取得最小值
即(a+1)-(a+1)ln(a+1)≥b
那么:(a+1)2[1-ln(a+1)]≥b(a+1)
令(a+1)=t,(t>0)
則現(xiàn)求g(t)=t2-t2lnt的最大值.
g′(t)=$2t-2t•lnt-\frac{1}{t}•{t}^{2}$
令g′(t)=0,解得:t=${e}^{\frac{1}{2}}$
得極大值為g(${e}^{\frac{1}{2}}$)=$\frac{e}{2}$
∴(a+1)b的最大值為$\frac{e}{2}$.
故選C.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值與函數(shù)與方程,屬難題;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | af(b)≤bf(a) | B. | bf(a)≤af(b) | C. | af(a)≤bf(b) | D. | bf(b)≤af(a) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{64}$ | B. | $\frac{1}{16}$ | C. | $\frac{1}{32}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | {x|-1<x<4} | B. | {x|-1<x≤4} | C. | {x|4≤x<10} | D. | {x|-1≤x≤4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | {0,1} | B. | {(0,1),(1,0)} | C. | {(0,1)} | D. | {(1,0)} |
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