Question

4．函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）+xf'（x）≤0．對(duì)任意正數(shù)a、b，若a＜b，則必有（　　）

• A． af（b）≤bf（a）
• B． bf（a）≤af（b）
• C． af（a）≤bf（b）
• D． bf（b）≤af（a）

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系解決．

解答 解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函數(shù)F（x）=xf（x）在（0，+∞）上為常函數(shù)或遞減，
又0＜a＜b且f（x）非負(fù)，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①$\frac{1}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{^{2}}$＞0②
①②兩式相乘得：$\frac{f（a）}{a}$≥$\frac{f（b）}$≥0⇒af（b）≤bf（a），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在對(duì)不等式②的設(shè)計(jì)，需要經(jīng)驗(yàn)更需要靈感．