Question

【題目】已知 為定義在 上的偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，有 ，且當(dāng) 時(shí)， ，給出下列命題：
① 的值為 ；
②函數(shù) 在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；
③直線 與函數(shù) 的圖像有1個(gè)交點(diǎn)；
④函數(shù) 的值域?yàn)? .
其中正確的命題序號(hào)有 .

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，

且當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=﹣f（x），

且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log2（x+1），

故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（2013）+f（﹣2014）=0+0=0，故①正確；

函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故③正確；

函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī?，1），故④正確；

故正確的命題序號(hào)有：①③④

故答案為：①③④

根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性，及當(dāng) x ≥ 0 時(shí)，有 f ( x + 1 ) = f ( x ) 可以得出函數(shù)是周期函數(shù)；再由部份區(qū)間上的解析式，畫出函數(shù)的圖象，可對(duì)各選項(xiàng)分析得出正確選項(xiàng)。