【題目】已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)點(diǎn)是棱上一點(diǎn),且平面,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)首先通過計(jì)算得,再利用判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直,從而得到面面垂直;(Ⅱ)首先通過垂直關(guān)系的判定正確建立空間直角坐標(biāo)系找好的坐標(biāo),然后將線面平行即平面轉(zhuǎn)化為線線平行,從而確定平面的法向量,最后根據(jù)法向量求出二面角的余弦.
(Ⅰ)證明:等腰梯形中,∽,
所以,又,所以,所以.
所以,所以,即,
又因?yàn)?/span>,且于點(diǎn),
所以平面,又因?yàn)?/span>平面,因此平面平面.
(Ⅱ)連接,由(Ⅰ)知,平面,所以,所以,
所以,即,
如圖以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,平面的法向量,
因?yàn)?/span>平面,平面,
平面平面,所以,
設(shè)平面的法向量為,則,即,
,令,則,
所以,所以所求二面角的余弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)有下列四個(gè)命題:
:若,則;
:若,則;
:“”是“為奇函數(shù)”的充要條件;
:“等比數(shù)列中,”是“等比數(shù)列是遞減數(shù)列”的充要條件.
其中,真命題的是
A. ,B. ,C. ,D. ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)一位高三班主任對本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:
積極參加班級工作 | 不積極參加班級工作 | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性不高 | 6 | 19 | 25 |
合計(jì) | 24 | 26 | 50 |
如果隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,求事件A:抽到不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率;
若不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取兩名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng),請用字母代表不同的學(xué)生列舉出抽取的所有可能結(jié)果;
在的條件下,求事件B:兩名學(xué)生中恰有1名男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一長為100碼,寬為80碼,球門寬為8碼的矩形足球運(yùn)動(dòng)場地,如圖所示,其中是足球場地邊線所在的直線,球門處于所在直線的正中間位置,足球運(yùn)動(dòng)員(將其看做點(diǎn))在運(yùn)動(dòng)場上觀察球門的角稱為視角.
(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿著邊線奔跑時(shí),設(shè)到底線的距離為碼,試求當(dāng)為何值時(shí)最大;
(2)理論研究和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明:張角越大,射門命中率就越大.現(xiàn)假定運(yùn)動(dòng)員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運(yùn)球,運(yùn)動(dòng)到視角最大的位置即為最佳射門點(diǎn),以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求在球場區(qū)域內(nèi)射門到球門的最佳射門點(diǎn)的軌跡.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成的三角形面積為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)與圓O:相切的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求△AOB面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率,短軸長為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)(非長軸端點(diǎn)),的延長線與橢圓交于點(diǎn), 的延長線與橢圓交于點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓過點(diǎn),且與圓外切于點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,,切點(diǎn)為,.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試問直線是否恒過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】制訂投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測,甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利分別為和,可能的最大虧損率分別為和.投資人計(jì)劃投資金額不超過億元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過億元,問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少億元,才能使可能的盈利最大?
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