【題目】某地棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示,經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定,棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面,該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶區(qū)建筑用地,測量可知邊界ABAD=4萬米,BC=6萬米,CD=2萬米.

(1)請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及AC的長;

(2)因地理?xiàng)l件的限制,邊界AD,DC不能變更,而邊界AB,BC可以調(diào)整,為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率,請(qǐng)?jiān)?/span>上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P,使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地APCD的面積最大,并求出最大值.

【答案】1;(2見解析.

【解析】試題分析:(1)利用圓內(nèi)接四邊形得到對(duì)角互補(bǔ),再利用余弦定理求出相關(guān)邊長,再利用三角形的面積公式和分割法進(jìn)行求解 ;(2)利用余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解.

試題解析:(1)根據(jù)題意知,四邊形ABCD內(nèi)接于圓,∴∠ABC+∠ADC=180°.

ABC中,由余弦定理,得AC2AB2BC2-2AB·BC·cos∠ABC,

AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC.

ADC中,由余弦定理,得

AC2AD2DC2-2AD·DC·cos∠ADC,即AC2=42+22-2×4×2×cos∠ADC.

cos∠ABC=-cos∠ADC,

∴cos∠ABCAC2=28,即AC=2萬米,

又∠ABC∈(0,π),∴∠ABC.

S四邊形ABCDSABCSADC×4×6×sin×2×4×sin=8 (平方萬米).

(2)由題意知,S四邊形APCDSADCSAPC

SADCAD·CD·sin=2 (平方萬米).

設(shè)APx,CPy,SAPCxysinxy.

APC由余弦定理,AC2x2y2-2xy·cosx2y2xy=28,

x2y2xy≥2xyxyxy,

當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào),∴xy≤28.

S四邊形APCD=2xy≤2×28=9 (平方萬米),

故所求面積的最大值為9平方萬米,此時(shí)點(diǎn)P的中點(diǎn).

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