分析 (1)設(shè)圓心P的坐標為(x,y),半徑為R,由已知條件推導(dǎo)出,|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{7}$>|F1F2|=4從而圓心P的軌跡為以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,由此能求出圓心P的軌跡C的方程.
(II)設(shè)直線OQ:x=my,則$\left\{\begin{array}{l}{x=my}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,直線|OM|2:x=my+3,由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,根據(jù)弦長公式,能求出丨AB丨,由此能求出|MN|和|OQ|2的比值為常數(shù);
(III)由△MF2A面積為S1=△OF2B面積為S2,能求出S=S1+S2的表達式,利用基本不等式的性質(zhì)即可求得S的最大值.
解答 解:(1)設(shè)圓心P的坐標為(x,y),半徑為R,由于動圓P與圓F1:(x+2)2+y2=(2$\sqrt{7}$+3)2 相切,
且與圓F2:(x-2)2+y2=9相內(nèi)切,
∴$\left\{\begin{array}{l}{丨P{F}_{1}丨=2\sqrt{7}+3-R}\\{丨P{F}_{2}丨=R-3}\end{array}\right.$,
∴|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{7}$>|F1F2|=4,…(2分)
∴圓心P的軌跡為以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,其中2a=2$\sqrt{7}$,2c=4,
∴a=$\sqrt{7}$,c=2,b2=a2-c2=3,
故圓心P的軌跡C:$\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.…(4分)
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),
直線OQ:x=my,則直線MN:x=my+2
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,得:$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{21{m}^{2}}{3{m}^{2}+7}}\\{{y}^{2}=\frac{21}{3{m}^{2}+7}}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}^{2}=\frac{21{m}^{2}}{3{m}^{2}+7}}\\{{y}_{3}^{2}=\frac{21}{3{m}^{2}+7}}\end{array}\right.$,
∴丨OM丨2=x32+y32=$\frac{21({m}^{2}+1)}{3{m}^{2}+7}$,…(6分)
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(3m2+7)y2+12my-9=0,
∴由韋達定理可知:y1+y2=-$\frac{12m}{3{m}^{2}+7}$,y1•y2=-$\frac{9}{3{m}^{2}+7}$,
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{(-\frac{12m}{3{m}^{2}+7})^{2}-4×(-\frac{9}{3{m}^{2}+7})}$=$\frac{6\sqrt{7}({m}^{2}+1)}{3{m}^{2}+7}$…(8分)
∴$\frac{|AB|}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{\frac{21({m}^{2}+1)}{3{m}^{2}+7}}{\frac{6\sqrt{7}({m}^{2}+1)}{3{m}^{2}+7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$=λ,
∴λ的值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$;…(9分)
(III)∵AB∥OM,∴△MF2MA的面積=△OF2A的面積,
∴S=S1+S2=S△OMN
∵O到直線MN:x=my+3的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$,
∴S=$\frac{1}{2}$d•丨AB丨=$\frac{6\sqrt{7}\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+7}$…(11分)
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t,則m2=t2-1(t≥1)
S=$\frac{6\sqrt{7}\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+7}$=$\frac{6\sqrt{7}}{3t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{3t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{6\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$,
∵(當(dāng)且僅當(dāng)3t=$\frac{4}{t}$,即t2=$\frac{2}{3}$,亦即m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號),
∴當(dāng)m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時,S取最大值$\frac{\sqrt{21}}{2}$.…(13分)
點評 本題考查橢圓的標準方程、直線、圓、與橢圓等橢圓知識,考查韋達定理及基本不等式的應(yīng)用,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思等,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$] | B. | (-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$) | C. | (-∞,-$\sqrt{3}$)∪($\sqrt{3}$,+∞) | D. | (-∞,-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$,+∞) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com