Question

16．已知橢圓E的中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸，其右焦點為F（1，0），點A（0，1）在橢圓上，過點A作兩條直線，與橢圓E分別交于M，N兩點，直線AM，AN的斜率乘積為-1．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線MN過定點，并求定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓標準方程，由c=1，b=1，則a²=b²+c²=2，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用直線的斜率公式，設出設直線MN：y=kx+t，代入橢圓方程，用韋達定理，結合M，N在直線上，滿足直線方程，化簡整理，可得t的方程，解方程可得t，即可證得直線MN恒過定點．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知：c=1，b=1，則a²=b²+c²=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由A（0，1）直線AM與AN的斜率之積為-1，
可得$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，
即有-x₁x₂=y₁y₂-（y₁+y₂）+1，
由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，設直線MN：y=kx+t，
代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
可得x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+kt（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）+t²=$\frac{{t}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-（$\frac{2t}{1+2{k}^{2}}$）+1，3t²-2t-1=0，解得：t=1（舍去），或t=-$\frac{1}{3}$，
則直線MN的方程為y=kx-$\frac{1}{3}$，
即直線MN恒過定點，該定點坐標為（0，-$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．