Question

15．已知A，B為拋物線E：y²=2px（p＞0）上異于頂點O的兩點，△AOB是等邊三角形，其面積為48$\sqrt{3}$，則p的值為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），由于|OA|=|OB|，可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．代入化簡可得：x₁=x₂．由拋物線對稱性，知點B、A關于x軸對稱．不妨設直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，與拋物線方程聯立解出即可得出．

解答 解：設B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對稱性，知點B、A關于x軸對稱．
不妨設直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯立y²=2px，解得B（6p，2$\sqrt{3}$p）．
∵面積為48$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•（4\sqrt{3}p）^{2}$=48$\sqrt{3}$，∴p=2
故選A．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．