Question

已知二次函數(shù)在處取得極值，且在點處的切線與直線平行．  
(1）求的解析式；
(2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及極值。
（3）求函數(shù)在的最值。

Answer 1

（1）（2）函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，），（1，+∞）．在x₂=1有極小值為0．在有極大值．（3）函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0．

解析試題分析：（1）由f（x）=ax²+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點處的切線與直線2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=x²﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x³﹣2x²+x，所以g′（x）=3x²﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得，x₂=1．列表討論能求出函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，結(jié)合（2）的結(jié)論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．
試題解析：(1)由,可得. 由題設(shè)可得    即
解得,.所以.
(2)由題意得,所以.令,得,.

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