Question

16．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P（3，4）在雙曲線的漸近線上，若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，則此雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 根據題意，設雙曲線的焦點坐標為F₁（-c，0）、F₂（c，0），由雙曲線的標準方程可得其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，結合題意可得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$；有P、F₁、F₂的坐標可得向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$、$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐標，計算可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（6，8），結合題意可得|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=10，即可得c的值，由雙曲線的幾何性質可得a²+b²=25，又由$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，解可得a²、b²的值，代入雙曲線的方程，即可得答案．

解答 解：根據題意，設雙曲線的焦點坐標為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，其焦點在x軸上，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
又由點P（3，4）在雙曲線的漸近線上，則其一條漸近線方程為：y=$\frac{4}{3}$x，
則有$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
又由P（3，4），F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-3，-4），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-3，-4）
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-6，-8），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=10，
又由|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，則|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=10，即2c=10，
則有c=5，
即a²+b²=25，
又由$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
解可得a²=9，b²=16，
則雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，注意有|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|分析得到c的值．