Question

2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得2cos²A+3cosA-2=0，得到cosA的值，即可求解A．
（II）通過三角形的面積求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A，
得3（cosBcosC-sinBsinC）=cos2A-1，
即3cos（B+C）=2cos²A-2，即2cos²A+3cosA-2=0…（3分）
可得：（2cosA-1）（cosA+2）=0，
可得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去），
可得：A=$\frac{π}{3}$…6分
（II）由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，得bc=20．
又b=5，所以c=4．-----（8分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，故a=$\sqrt{21}$．---（10分）
又由正弦定理，得sinBsinC=$\frac{bc}{{a}^{2}}$•sin²A=$\frac{20}{21}×\frac{3}{4}$=$\frac{5}{7}$．----（12分）

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉化思想以及計算能力．