Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]．
（1）用分析法證明：f（x）≥1-x+x²；
（2）證明：f（x）≤$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用分析法證明即可，
（2）先放縮得到f（x）≤x+$\frac{1}{x+1}$，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系即可證明．

解答 證明：（1）由x∈[0，1]，
則x+1∈[1，2]，
要證f（x）≥1-x+x²，
只需證x³（x+1）+1≥（x+1）（1-x+x²），
只需證x⁴+x³+1≥x³+1，
只需證x⁴≥0，顯然成立，
∴f（x）≥1-x+x²，
（2）∵0≤x≤1，∴x³≤x，
∴f（x）≤x+$\frac{1}{x+1}$，
設(shè)g（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]，
∴g′（x）=1-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x}{（x+1）^{2}}$≥0，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）≤g（1）=$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查額分析法和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值得關(guān)系，考查了分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題