Question

12．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1．
（1）求函數(shù)f（x）取最大值時x的取值集合；
（2）設△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=2，c=$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及輔助角公式求得f（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得f（x）的最大值；
（2）由（1），求得C，利用余弦定理及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）由題意，$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{cos^2}x+1$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
當f（x）取最大值時，即$sin（2x-\frac{π}{6}）=1$，此時$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
所以x的取值集合為$\{x|x=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$．
（2）因f（C）=2，由（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，又0＜C＜π，
即$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得$C=\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得3=a²+b²-ab≥ab，所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
當且僅當a=b，$C=\frac{π}{3}$，即△ABC為等邊三角形時不等式取等號．
故△ABC面積的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理及基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．